In der Mathematik und der Informatik müssen Aussagen auf ihre Wahrheit hin untersucht werden.
Also muss man „schlicht“ herausfinden, ob die Aussage

  • wahr
  • falsch

ist.

Beispiel:
Aussage: 1 = 2 -> Diese Aussage ist falsch
Aussage: 4 = 4 -> Die Aussage ist richtig, also wahr

Schließt man Vermutungen aus, kann man dies mit beliebigen Aussagen fortführen. Es kann also jede Aussage entweder wahr oder falsch sein.

Wie in der Umgangssprache, so kann auch in der Mathematik eine Aussage verneint (negiert) werden. Kennzeichnen tut man dies mit ¬Aussage oder /Aussage sowie einem Negierungsstrich über dem A.

Beispiel: ¬(„Heute ist ein schöner Tag“) -> („Heute ist kein schöner Tag“)
Beispiel2: Aussage: „Die Lampe leuchtet“ => ¬(„Die Lampe leuchtet“) -> („Die Lampe leuchtet nicht“)

Also wird aus einer wahren Aussage eine falsche Aussage und vice versa.

Im folgenden werde ich für wahr eine 1 setzen und für falsch eine 0. Dies ist bei mir reine Gewohnheitssache, da ich aus der IT komme und dort mit boolschen Binärwerten (0/1) gearbeitet wird.

Wahrheitstabelle für Negation (NOT oder Nicht):

NOT

Ist eine Aussage wahr (1), so wird er falsch (0). Ist eine Aussage falsch(0), so wird sie wahr(1).

Sprechweise: ¬A ist die Negation von A.

Zur Wahrheitstabelle gibt es noch kurz etwas zu sagen, bevor wir richtig anfangen:
Wahrheitstabellen haben immer 2^n Möglichkeiten, wobei n für die Anzahl der Parameter steht. Im oberen Beispiel haben wir einen Parameter 2^1 = 2, also zwei Möglichkeiten. Bei zwei Parametern (Beispiel folgt nachher) haben wir 2^2 = 4 Möglichkeiten usw.
Dann müssen wir alle Möglichkeiten abdecken, indem wir jede mögliche Konstellation der Werte in diese Tabelle schreiben (A:01010101, B:00110011, C:00001111).
Auf die Werte in der Klammer gehe ich jetzt nicht weiter ein, aber mit etwas Nachdenken kommt man auf das System.

 Machen wir nun also weiter.

Wie in der Umgangssprache, gibt es auch in der Technik und Mathematik Aussagen die sich bedingen, die getrennt voneinander das gleiche Aussagen etc.

Für solche Bedingungen, gibt es die logischen Operatoren oder richtiger Junktoren, die da wären:

1.Konjunktion (AND / UND):

Diesen logischen Operator kann man sich wie eine elektronische Reihenschaltung mit zwei Schaltern vorstellen.

Reihenschaltung

Für die Nichttechniker: A und B sind Schalter, der Kreis mit dem Kreuz ist eine Glühlampe und die zwei parallelen Striche eine Energiequelle, bspw. eine Batterie

Der Stromkreislauf ist geschlossen, wenn beide Schalter geschlossen sind. Erst wenn dies der Fall ist leuchtet die Lampe.

Symbol: ∧, Beispiel: A∧B=C, gesprochen „Wenn A und B, dann C“.

Bauen wir uns dafür nun wieder eine Wahrheitstabelle mit zwei Eingängen („Schaltern“) A und B und einem Ausgang („Lampe“) A∧B

0 = Schalter nicht gedrückt bzw. Lampe leuchtet nicht, 1 = Schalter gedrückt bzw. Lampe leuchtet

AND

2. Disjunktion (OR / ODER)

Diesen logischen Operator kann man sich wie eine elektronische Parallelschaltung mit zwei Schaltern vorstellen.

Parallelschaltung

Der Stromkreislauf ist geschlossen, wenn einer der beiden Schalter geschlossen ist, also Schalter A oder Schalter B. Erst wenn dies der Fall ist leuchtet die Lampe.

Symbol: ∨, Beispiel: A∨B=C, gesprochen „Wenn A oder B, dann C“.

Bauen wir uns dafür nun wieder die entsprechende Wahrheitstabelle mit zwei Eingängen („Schaltern“) A und B und einem Ausgang („Lampe“) A∨B

OR

3. Implikation (Folgt-aus)

Die Implikation A=>B ist essentiell für mathematische Beweisführungen.

Allerdings wird es hier auch etwas komplizierter, denn zuerst einmal muss man sich etwas klar machen.

Nehmen wir an, man habe eine falsche Aussage, bspw. 2 = 5 (A) und nehme diese *2 -> 2*3 = 5*3 <=> 6 = 15 (B) ist immer noch falsch.
Also können wir sagen, dass eine falsche Aussage auch eine falsche Aussage implizieren kann.

Nehmen wir nun allerdings wieder (A) * 0 -> 2*0 = 5*0 => (keine Äquivalenz!) 0 = 0. Dies ist eine wahre Aussage!
Also können wir sagen, dass eine falsche Aussage auch eine wahre Aussage implizieren kann.

Sagen wir jetzt 2 = 2 (A) ist eine wahre Aussage. Und multiplizieren/addieren/dividieren/subtrahieren diese mit einer beliebigen Zahl, so kommt immer eine wahre Aussage heraus. (Bspw.: 2+2 = 2+2 <=> 4 = 4 -> wahr)
Also können wir sagen, dass eine wahre Aussage auch eine immer eine wahre Aussage impliziert.

Nehmen wir nun wieder diese wahre Aussage 2 = 2. Wir werden feststellen,  dass wir keine falsche Aussage aus dieser implizieren können.

Die Wahrheitstabelle sieht dann wie folgt aus:

Implikation

Symbol: =>, Beispiel: A=>B, gesprochen „A impliziert B“ oder „Aus A folgt B“.

4. Äquivalenz (Genau-wenn)

Symbol: <=>, Beispiel: A<=>B, gesprochen „A genau dann, wenn B“ oder „A ist äquivalent zu B“.

Herleiten können wir diese Wahrheitstabelle einfach, in dem wir eine falsche Aussage mathematisch versuchen mit Äquivalenzumforumgen (Subtraktion, Addition, Multiplikation (außer *0) oder Division) umzuformen, sodass dies eine wahre Aussage ergibt.
Es wird uns nicht gelingen.
Auch anders herum wird es uns nicht gelingen. Denken wir nochmals an die Implikation: Dort habe man nur eine falsche Aussage in eine wahre umformen können, indem ich mit 0 multiplizierte, was nicht äquivalent ist. Denn man kann diese Operation nicht mehr rückgängig machen.

Daraus folgt:

Aequivalenz

Wichtige Begriffe in der Aussagenlogik:

  1. Tautologie = eine Aussage, die immer wahr ist.
  2. Junktoren = logische Operatoren
    1. zweistellige Junktoren:  ⇔, ⇒, ∨, ∧
    2. einstellige Junktoren: ¬

Neben den bisher eingeführten Verknüpfungen gibt es noch weitere, welche vorwiegend in der  Informations- und Digitaltechnik eingesetzt werden.

Sätze der Aussagenlogik:

Sätze von De Morgan:

  • ¬(A∧B) ⇔¬A∨¬B
  • ¬(A∨B) ⇔¬A∧¬B

Kontrapositionssatz:

  • (A⇒B) ⇔ (¬A⇒¬B)

Distributivsatz:

  • A∧(B∨C) ⇔(A∧B)∨(A∧C )
  • A∨(B∧C) ⇔(A∨B)∧(A∨C )